向量解的基本解組（fundamental set of vector solutions）

想像你要描述一個方程組的每一種可能運動，卻不想把無窮多個一一列出。竅門和用兩支箭頭描述平面上每一點是一樣的：挑幾個精選的積木解，把其餘所有的解寫成它們的組合。這些被選中的積木，就是一組基本解組。

對一個 n 維齊次線性方程組 x' = A(t) x，一組基本解組是 n 個線性獨立的解向量 x_1(t)、…、x_n(t)，沒有任何一個是其他幾個的組合。關鍵定理說，這 n 個獨立解就足夠了：方程組的每一個解都能寫成 c1 x_1(t) + … + cn x_n(t)，其中 c1、…、cn 是某些常數。所以基本解組是整個解空間的一組基底，而那些常數由初始條件確定下來。獨立性可在任一時刻 t0 用朗斯基行列式來檢驗，也就是以這些解向量為各行的矩陣的行列式；若在該處不為零，這組解就是基本解組。

這正是為什麼一個 n×n 方程組「的通解」恰好是 n 項之和，不多也不少。它呼應了二階情形，其中兩個獨立解張成一切，如今推廣到 n 個未知函數。找到一組基本解組，就等於求解了齊次方程組；對常係數的 A，特徵值方法直接給出一組。