向量解的朗斯基行列式（Wronskian of vector solutions）
/ VRON-skee-an /
你有好幾個候選解，需要一個是或否的判準：它們是真正獨立的，還是其中某一個偷偷是其他幾個的組合？一個在任何方便時刻算出的數，就能回答。這個數就是朗斯基行列式。
把 x' = A(t) x 的 n 個解向量 x_1(t)、…、x_n(t) 豎起來當作一個 n×n 矩陣的各行，這正是基本矩陣的候選 Psi(t)。朗斯基行列式就是它的行列式：W(t) = det Psi(t)。如果在某個時刻 t0，W(t0) 不為零，則各行在該處線性獨立，於是這些解構成一組基本解組；如果 W(t0) = 0，它們就是相依的，無法張成解空間。讓這個判準變得輕鬆的是阿貝爾（劉維爾）定理：W(t) = W(t0) exp(從 t0 到 t 對 trace A(s) ds 積分)。因為指數永不為零，W 要麼對所有 t 都不為零，要麼對所有 t 都為零，你永遠只需檢查一個點。
這是二階朗斯基行列式的方程組版本，把兩個未知函數換成 n 個，把兩列的行列式換成 n×n 的。這種全有或全無的二分法是線性 ODE 的解所特有的，對任意的向量函數，朗斯基行列式在某一點為零什麼也說明不了。它在這裡之所以管用，只因為這些向量被約束去滿足同一條微分方程。
對某個 2×2 方程組的解 (e^t, e^t) 與 (e^(3t), -e^(3t))，W(t) = det [e^t, e^(3t); e^t, -e^(3t)] = -e^t e^(3t) - e^t e^(3t) = -2 e^(4t)。永不為零，所以這一對是一組基本解組。
只需算一次行列式；根據阿貝爾定理，它永不為零的狀態對每個 t 都成立。
注意：全有或全無的法則只適用於滿足同一條線性方程組的向量。兩個無關的向量函數，其朗斯基行列式可能在某些點為零、在另一些點不為零。