矩陣卷積公式（matrix convolution formula）
當你把線性系統的齊次與受迫行為疊進一句陳述，結果就是一條優美的公式，即 x' = A x + g(t) 配初態 x0 的完整閉式解。它乾淨地拆成「初態去了哪裡」加上「強迫累積的效應」，而後一塊是輸入與系統自身指數的卷積。
公式為 x(t) = e^(At) x0 + 從 0 到 t 的 e^(A(t - s)) g(s) ds 之積分。把它讀作一則因果的故事。第一項以流 e^(At) 把初始條件向前帶，彷彿沒有強迫。積分則把強迫的貢獻加總起來：在每個過去時刻 s，施加一小推 g(s) ds，它接著在餘下的時間 t - s 內以流 e^(A(t - s)) 向前演化，才抵達當下時刻 t。把所有這些延遲、演化過的推力加起來，正是積分所做之事，便得到全部的受迫響應。因子 e^(A(t - s)) 只依賴經過的間隔 t - s，這正是它成為卷積的原因：系統對一推的響應不論推何時發生都相同，只看推發生於多久之前。
這就是矩陣形式的杜哈梅原理，也是你在拉普拉斯變換中遇到的卷積定理的系統版本：e^(At) 扮演脈衝響應的角色，把輸入與它卷積便產生輸出。公式精確且完全一般，對 g(t) 別無要求只需可積，這是它的大優點，而其誠實的隱憂是積分未必能以初等形式求值，那時解便理所當然地留作一個待數值計算的積分。
若一個開關把常數輸入 g(t) = b 注入一個穩定系統，公式給出 x(t) = e^(At) x0 + 從 0 到 t 的 e^(A(t-s)) b ds 之積分。隨 t 增大，e^(At) x0 衰減消失（暫態），積分趨於常數穩態 -A^(-1) b，正是你在 Ax + b = 0 中令 x' = 0 所得的同一個 -A^(-1) b。卷積一舉同時還原出顯而易見的平衡點及其趨近過程。
x(t) = e^(At) x0 + e^(A(t-s)) g(s) ds 的積分：初態向前帶，加上每一次過去的推力向前演化後加總。
次序要緊：是 e^(A(t-s)) g(s)，即經過時間的指數作用於時刻 s 的推力，而非 e^(As) 或 g(t)；卷積結構取決於間隔 t - s，而非 t 與 s 各自。