參數變易法（variation of parameters）
/ var-ee-AY-shun of pa-RAM-eh-ters /
待定係數法快但挑剔——它只能處理一小串好看的外力。參數變易法是萬用工具：它能為任何連續的外力 g(x) 建構一個特解，連 tan(x) 或 sec(x) 這種猜測毫無機會的雜亂情形也行。代價是要做兩個積分，可能是初等的也可能不是。
巧妙的點子就在名字裡。你已經有兩個齊次解 y1 與 y2，所以 y_c = c1 y1 + c2 y2，其中 c1、c2 是常數。此法說：讓那些常數「變動」——把它們換成未知函數 u1(x) 與 u2(x)，尋找 y_p = u1 y1 + u2 y2。為了保持代數乾淨而強加一個方便的額外條件（即 u1' y1 + u2' y2 = 0），把一切化為關於 u1' 與 u2' 的兩個方程。解出得 u1' = -y2 g / W 與 u2' = y1 g / W，其中 W = y1 y2' - y2 y1' 是 y1 與 y2 的朗斯基行列式。對 u1' 與 u2' 積分，代回，y_p = u1 y1 + u2 y2 就是你的特解。
因為它從不猜測，只要你有齊次方程的一組基本解系 y1、y2 且 g 連續，參數變易法就成立——一旦你能解齊次部分，它甚至能處理變係數方程。它唯一的難處在於對積分要誠實：公式有保證，但得到的積分可能很難甚至無法用初等函數表示。對課本上那一小串外力，待定係數法通常更快；對其他一切，參數變易法才是你要拿的工具。
對 y'' + y = sec(x)，此處 y1 = cos(x)，y2 = sin(x)，W = 1。則 u1' = -sin(x) sec(x) = -tan(x) 而 u2' = cos(x) sec(x) = 1。積分得 u1 = ln|cos(x)|，u2 = x，所以 y_p = cos(x) ln|cos(x)| + x sin(x)——這是待定係數法碰不到的外力。
讓常數變成函數；朗斯基公式直接給出 u1' 與 u2'。
朗斯基公式假設方程已化為首項係數為 1 的標準形式 y'' + p y' + q y = g；先除以首項係數，否則公式中的 g 會出錯。