變異數的計算公式

定義 Var(X) = E[(X - mu)^2] 雖然誠實，實務上卻笨拙：你得先算出均值 mu，再回頭走過每個值去平方它的偏差。一點代數把這個兩遍的苦差事變成一遍就能完成的公式，而這幾乎總是實際計算變異數的方式。

把平方展開：E[(X - mu)^2] = E[X^2 - 2 mu X + mu^2] = E[X^2] - 2 mu E[X] + mu^2。由於 E[X] = mu，後兩項塌縮成 -2 mu^2 + mu^2 = -mu^2，剩下 Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2。用白話說：平方的平均減去平均的平方。你只需要兩個數——E[X^2]（用 LOTUS 算）與 E[X]——就完成了。有時記成「均方減方均」。

由於變異數絕不可能是負的，這個公式內建一個健全性檢查：E[X^2] 永遠至少等於 (E[X])^2。（這個不等式正是凸函數 g(x) = x^2 的詹森不等式，唯有 X 為常數時才取等號。）實際計算的一個數值警告：當 E[X^2] 與 (E[X])^2 都很大且幾乎相等時，相減會嚴重損失精度——統計學家在這種情形會用更穩定的演算法——但對手算而言，這個公式是個禮物。