期望值（expectation）

想像你把一個遊戲玩很多很多次，每次都把獲利記下來。如果把這些數字全部平均起來，平均值會穩定在哪裡？這個長期平均值就是期望值。它是把一個隨機變數「重心」濃縮成的一個數字——當你一再面對相同情境時，應該據以規劃的那個值。

對於一個取值為 x、機率為 P(X = x) 的離散隨機變數 X，期望值是以機率加權的平均：E[X] = 對所有 x 求和 x 乘以 P(X = x)。你逐一走過每個可能的值，乘以它發生的可能性，再加總。一顆公正的骰子，E[X] = 1(1/6) + 2(1/6) + ... + 6(1/6) = 3.5。注意 3.5 根本不是骰子上會出現的點數——期望值不一定是可能的結果。它是一個平衡點，是把每個機率當成蹺蹺板上的重量時，整個分布會平衡的位置。

期望值是機率論的主力：它餵養了變異數、共變異數、動差以及幾乎每一個極限定理。但它也可能誤導。樂透的期望值又小又是負的，人們卻為了那罕見的鉅額獎金而玩。而對某些重尾分布（柯西分配是著名例子），定義 E[X] 的那個求和根本不收斂，於是均值乾脆不存在。期望值只是一種摘要，不是故事的全部。