無意識統計學家定律（LOTUS）
/ LOH-tus /
假設你知道 X 的分布，而你想要它某個函數的期望值——比方 E[X^2]、E[cos X] 或 E[ 利潤(X) ]。天真的擔憂是：你必須先求出新變數 g(X) 的整個分布，這可能很痛苦。好消息是，有一條名字很討喜的規則告訴你：這個步驟可以完全省略。
無意識統計學家定律說：要計算 E[g(X)]，只要用 X 的機率（而非 g(X) 的機率）去加權 g(x) 的值就好。離散時，E[g(X)] = 對 x 求和 g(x) P(X = x)。連續時，E[g(X)] = 對 g(x) f(x) dx 積分。你把每個 x 餵進 g，再用原本的分布去平均。這個名字帶點善意的調侃：統計學家用這個公式太自動了——「無意識地」——以至於可能忘了它是一個需要證明的定理，而不是一個顯而易見的定義。
這是幾乎每一個衍生量背後的引擎。變異數是 E[(X - mu)^2]，第 k 階動差是 E[X^k]，動差母函數是 E[e^(tX)]——全都是把 LOTUS 套用到所選的 g 上。沒有它，這每一個都得先導出一個全新的分布。一個提醒：g(X) 一般並不等於 g(E[X])；先平均再變換不同於先變換再平均，而這正是詹森不等式所衡量的差距。
X 是一顆公正的骰子。要求 E[X^2]，不必去找 X^2 的分布——直接套 LOTUS：E[X^2] = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2)/6 = 91/6 ≈ 15.17。（對比 (E[X])^2 = 3.5^2 = 12.25；兩者不同，差距正是變異數。）
用 X 自己的機率去平均 g(x)——不必導出 g(X) 的分布。
LOTUS 算的是 E[g(X)]，一般不等於 g(E[X])。把兩者混淆是最常見的錯誤之一；詹森不等式告訴你對凸或凹的 g 而言差距往哪邊偏。