動差與中心動差

一個分布是一整個形狀，但我們常想用少數幾個數字來摘要它——它的中心、散度、歪斜、尖峭。動差是這類摘要的一個系統階梯，每一個都是某種特定的平均，多釘住形狀的一項特徵。這個詞來自物理，那裡同樣的求和描述一個物體的質心與轉動慣量。

第 k 階（原點）動差是 E[X^k]：第一動差 E[X] 就是均值。第 k 階中心動差是 E[(X - mu)^k]，從中心量起的動差：第一中心動差永遠是 0（偏差平均掉了），第二中心動差 E[(X - mu)^2] 正是變異數。更高的中心動差捕捉更細的形狀——第三衡量不對稱（它餵養偏態），第四衡量尾巴多重、中心多尖（它餵養峰態）。這些全都用 LOTUS 計算：把函數 x^k 餵進原本的分布再平均。

動差是一個分布的數值指紋，而動差母函數是一個能隨需求生出全部動差的單一物件。兩個誠實的提醒。更高階動差要求相關積分收斂，而重尾分布可能只有有限多個動差——超過某點 E[X^k] 就是無窮大或未定義（柯西根本沒有任何動差，連均值都沒有）。而且即使是無窮多個動差也不一定能唯一決定分布；在病態情形下兩個不同的分布可以共享每一個動差。