動差母函數（moment generating function）
一個一個算動差——E[X]、E[X^2]、E[X^3]、...——既乏味，每個又是各自的積分。要是有一個單一函數能一次儲存所有動差、並能用一次快速的微分把任何一個交出來呢？這正是動差母函數所做的：它是一座動差工廠。
它定義為 M_X(t) = E[e^(tX)]，是一個輔助變數 t 的函數。訣竅在冪級數展開 e^(tX) = 1 + tX + (tX)^2/2! + (tX)^3/3! + ...；逐項取期望值，M_X(t) = 1 + t E[X] + t^2 E[X^2]/2! + ...。於是動差就坐在係數裡。要取出第 k 階動差，微分 k 次再令 t = 0：E[X^k] = M_X^(k)(0)。在 0 的一階導數給出均值，二階給出 E[X^2]，以此類推——一個整潔的物件，盛裝所有動差。
動差母函數還有個神奇的乘法規則：對獨立的 X 與 Y，和的母函數是各母函數的乘積，M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)。這把「相加隨機變數」這個困難問題變成簡單的乘法，這也是如何證明獨立常態之和仍是常態。而當母函數在 0 的鄰域內存在時，它唯一決定分布——母函數相同就意味分布相同。最大的提醒：動差母函數「不一定」存在，因為對重尾變數 E[e^(tX)] 可能發散（對數常態與柯西就沒有可用的母函數）。這正是為什麼機率學家常改用永遠存在的特徵函數 E[e^(itX)]。
對 X ~ 指數分配、率為 lambda，M_X(t) = lambda/(lambda - t)（當 t < lambda）。微分一次再令 t = 0：M_X'(t) = lambda/(lambda - t)^2，故 E[X] = lambda/lambda^2 = 1/lambda——均值直接掉出來，不需要另一個積分。
M_X(t) = E[e^(tX)]：在 t=0 微分 k 次即可讀出第 k 階動差。
對對數常態或柯西這類重尾分布，動差母函數可能不存在（積分發散）。特徵函數 E[e^(itX)] 永遠存在，這就是為什麼一般理論偏好用它。