獨立常態之和仍是常態（用變換證明）

把兩個獨立的鐘形量疊起來——兩個獨立的量測誤差、兩支獨立的股票報酬——問問總和長什麼樣。令人驚訝地，它又是一條完美的鐘形曲線，沒有新形狀、沒有偏斜、尾巴也沒變肥。常態分布對獨立副本的相加是封閉的，而變換把這個本來很棘手的事實變成一行計算。

以下是完整的證明。設 X ~ 常態(mu_1, sigma_1^2) 與 Y ~ 常態(mu_2, sigma_2^2) 獨立。常態的動差母函數是 M(t) = e^(mu t + sigma^2 t^2/2)。由獨立和的乘積規則，M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t) = e^(mu_1 t + sigma_1^2 t^2/2) 乘以 e^(mu_2 t + sigma_2^2 t^2/2)。指數相乘就把指數相加，得到 e^((mu_1 + mu_2)t + (sigma_1^2 + sigma_2^2)t^2/2)。但這正好是 常態(mu_1 + mu_2, sigma_1^2 + sigma_2^2) 的動差母函數。由唯一性定理，X + Y 必定「就是」那個常態。均值相加、變異數相加——這就是完整的答案，全程沒碰過一個卷積積分。（若你偏好那個永遠存在的工具，用特徵函數跑同樣的論證也成立。）

這個封閉性正是常態在中央極限定理中成為自然極限形狀的原因，也是為什麼這麼多統計都舒適地住在常態的世界裡：獨立常態的和、平均與線性組合仍是常態，所以你永遠知道自己身在哪個族。兩個誠實的提醒。各加項必須獨立——對相依常態，和的變異數會多出一個共變異數項，不過若它們是聯合常態，和仍是常態。而這是常態的專利：兩個獨立均勻相加不會得到均勻（你會得到三角形），所以對加法封閉是一種特權，不是通則。