單位四元數（用於旋轉）

單位四元數是一種把三維旋轉存成「僅僅四個數」的辦法，而這四個數合在一起表現得非常乖巧。你可以把它看作對軸角思想的一次精心重新打包：它悄悄編碼了「繞哪根軸轉、轉多遠」，卻把這份資訊攤到四個數值上，從而讓數學變得平滑而可靠。「單位」二字意味著這四個數經過縮放，使它們合起來的大小恰好為一——正是這個條件，讓該四元數描述的是一次純粹的旋轉，而不摻雜其他東西。

機器人和遊戲引擎之所以鍾愛四元數，是因為它繞開了那些更簡單方案的毛病。和歐拉角不同，四元數永遠不會發生萬向鎖，因此沒有任何朝向會讓控制系統卡死。和需要九個數的旋轉矩陣不同，四元數只需要四個數，儲存和傳遞都更省。而且它在數值上很穩定：當許多次轉動被合成之後，微小的捨入誤差只需把這四個數重新縮放回大小為一即可清除，而不會讓旋轉慢慢失真。

代價是四元數很難用肉眼讀懂，因為那四個數並不對應任何人能直接想像的東西；它還有個怪癖——一個旋轉和它的「雙重覆蓋」孿生體描述的是同一個物理姿態。所以工程師通常在底層用四元數來計算和混合朝向，只在需要讓人理解結果時，才換算成橫滾-俯仰-偏航或一根軸加一個角度。在兩個朝向之間平滑地過渡，這個操作叫球面線性插值（slerp），是動畫和機器人運動裡四元數的日常任務。