(1/2)ab sin C 面積公式

我們熟悉的三角形面積「底乘高的一半」需要高——但在許多現實三角形中，高偏偏正是你沒量到的東西。(1/2)ab sin C 公式繞開了這點：它直接由兩邊與夾在它們之間的角算出面積，不必作任何垂線。

若三角形有長度為 a、b 的兩邊，夾角為它們之間的 C，則面積為 面積 = (1/2) x a x b x sin C。原因在於它其實是舊公式的化身：取邊 a 為底；三角形的高（從對頂點垂直落到該底的距離）為 b x sin C，因為該頂點位於邊 b 的端點，而邊 b 以角 C 向上傾斜。代入 (1/2) x 底 x 高得 (1/2) x a x (b x sin C)，即此公式。它需要 SAS 資料——兩邊及其夾角——別無其他。

這把面積與正弦定理、海龍公式連起來，成為同一個三角形的不同視角，也是當你知道兩邊與夾角卻不知高時的日常工具。唯一要弄對的是：C 必須是你相乘的「兩邊之間」的角；用一邊配一個非夾角會得到錯誤答案。