拓樸虧格（topological genus）
你如何在忽略彎曲與拉伸的情況下，分辨球面、甜甜圈與椒鹽脆餅？數洞。球面沒有洞、環面有一個、雙洞曲面有兩個。虧格正是這個洞數——你要在球面上接幾個把手才能造出該曲面——它是把緊可定向曲面在形變下分類的那個整數。
精確地說，每個緊連通可定向曲面（實維數二）都同胚於接上 g 個把手的球面，這裡 g 是唯一的非負整數，稱為虧格。分類定理說這是「唯一」的不變量：兩個這樣的曲面同胚，恰當其虧格相等。虧格藉由乾淨的公式與其他不變量相聯。歐拉示性數為 chi = 2 - 2g（故球面 chi = 2、環面 chi = 0、虧格 2 為 chi = -2）；第一貝蒂數／H_1 的秩為 2g；而虧格 g 曲面的基本群有標準表現：2g 個生成元 a_1, b_1, ..., a_g, b_g，並有單一關係，即換位子之積 [a_1, b_1] ... [a_g, b_g] 為平凡元。
為何重要：對黎曼曲面而言，虧格是主導性的數。它等於全純 1 形式空間的維數、它決定黎曼-羅赫定理的形式、它決定萬有覆疊是黎曼球面/平面/圓盤中的哪一個（g = 0、g = 1、g >= 2）、並為模空間編號。一個誠實要點：虧格是「拓樸」不變量，對複結構視而不見——所有虧格 1 的曲面在拓樸上是同一個環面，卻是一整族不同的黎曼曲面。可定向性對簡單公式 chi = 2 - 2g 是必要的；不可定向曲面（克萊因瓶、射影平面）服從不同的分類，且絕不是黎曼曲面，後者永遠可定向。
把環面三角剖分成 V 個頂點、E 條邊、F 個面；你總會得到 V - E + F = 0，故 chi = 0、g = (2 - chi)/2 = 1——一個把手。雙環面三角剖分得 chi = -2，給出虧格 2。洞數與交錯的面計數是同一個數的兩種讀法。
歐拉示性數與虧格由 chi = 2 - 2g 相聯；數洞等同於計算 V - E + F。
虧格純屬拓樸並遺忘複結構：每個虧格 1 曲面都是同一個環面，但它們構成一個單參數模、彼此不同的黎曼曲面。簡潔公式 chi = 2 - 2g 假設可定向——黎曼曲面總是符合。