單值化定理（uniformization theorem）
黎曼曲面有無窮多個，各種虧格與形狀——要整理它們似乎沒有指望。單值化定理完成了一個驚人的化約：在恰當的相同概念下，整個宇宙中只有「三個」單連通黎曼曲面，而其他每個曲面都是其中之一的商。它是複解析版的「每個常曲率幾何不是球面的、平坦的、就是雙曲的」。
精確地說，單值化定理斷言每個單連通黎曼曲面都雙全純於三個模型空間中恰好一個：黎曼球面（緊、正曲率的模型）、複平面 C（平坦模型）、或開單位圓盤 D，等價地上半平面（雙曲、負曲率的模型）。因此對「任何」黎曼曲面 X，過渡到它的萬有覆疊 X-tilde，後者單連通，故 X-tilde 是三者之一；於是 X = X-tilde / Gamma，其中 Gamma 是一群覆疊變換，以雙全純（模型的莫比烏斯變換）自由且真正地作用。所以每個黎曼曲面都是模型空間對一個離散自同構群的商。
為何重要：這一個定理分類並單值化了一切。三分法與虧格對齊：球面本身（g = 0）是自己的覆疊；被 C 覆疊的曲面恰是環面 C/L 與少數例外（g = 1，平坦幾何）；而「每個」虧格 g >= 2 的曲面都被圓盤覆疊，因而承載一個曲率 -1 的典範完備雙曲度量。這就是為何「大多數」黎曼曲面在內蘊上是雙曲的深層原因——複分析與雙曲幾何之間的聯繫。誠實要點：定理在差一個雙全純下確定了萬有覆疊，但「曲面」仍依賴群 Gamma；許多不同構的曲面共享圓盤作為覆疊（這就是模空間有趣、而非一個點的原因）。且這是個困難的定理（克貝、龐加萊），嚴格地強於黎曼映射定理，後者只處理 C 中單連通的真開子集。
一個虧格 2 曲面以圓盤為萬有覆疊，實現為 D / Gamma，其中 Gamma 是圓盤自同構的離散群（一個富克斯群）。具體地 Gamma 是基本群，以保持圓盤的莫比烏斯映射作用；該曲面繼承圓盤的雙曲度量，常曲率 -1，且依高斯-博內其雙曲面積為 2pi(2g - 2) = 4pi。
虧格 >= 2 的曲面是圓盤商 D/Gamma，因而承載曲率 -1 的典範雙曲度量。
單值化確定了萬有覆疊（三者之一），但「不」確定曲面——後者依賴覆疊變換群 Gamma，故無數不等價的曲面共享圓盤作為覆疊。它嚴格地強於黎曼映射定理，並使虧格 >= 2 的曲面典範地成為雙曲。