黎曼曲面（Riemann surface）
/ REE-mahn /
想像你想做複變微積分——對 z = x + iy 的函數求導——但不只在平坦的平面上做。你想在一個彎曲的形狀上做：一個球面、一個甜甜圈、一個有好幾個洞的椒鹽脆餅。黎曼曲面正是這樣的形狀，並配備了足夠的結構，使得「某點附近的全純函數」這句話在其上處處都有意義。它在局部看起來像複平面的一塊開集；在整體上卻可以繞回並封閉起來。
精確地說，黎曼曲面是複維數為一的連通複流形。它是一個豪斯多夫拓樸空間，由通往 C 中開集的圖卡所覆蓋，其中每個轉移映射（在重疊處從一張圖卡的座標換到另一張的座標）都是全純的——不只是光滑，而是複解析的。由於單複變的全純映射在導數非零處是共形的，這等同於攜帶一個共形結構：有明確的角度概念卻沒有長度概念。作為實對象，每個黎曼曲面都是維數為二的光滑可定向實曲面；額外的要求是黏合要靠全純映射，而不只是光滑映射。
為何重要：這正是複分析、拓樸與代數融合之處。熟悉的例子——黎曼球面 C 並上 {infinity}（虧格為 0 的情形）、對某格 L 的複環面 C/L（虧格 1）、以及形如 y^2 = x^5 - 1 的多項式的光滑零點集（更高虧格）——是整個學科的基本對象。一個誠實要點：「黎曼曲面」是複解析的概念，嚴格地比底層的實曲面更豐富。兩個環面 C/L 與 C/L' 在拓樸上是同一個實環面，但作為黎曼曲面一般而言並不同構；共形結構攜帶真正的額外資訊（它們的模）。「曲面」一詞指的是實維數二，儘管複維數為一。
黎曼球面由兩張圖卡建成：U_0 = C 帶座標 z，U_1 = C 帶座標 w，在重疊處用全純映射 w = 1/z 黏合。這一條規則就把兩份平面變成一個球面，其上「無窮遠」只是一個普通的點（w = 0），而像 1/z 這樣的有理函數成為通往球面的完全良好的全純映射。
兩個平面用 w = 1/z 黏合即成球面；無窮遠在第二張圖卡中是個普通的點。
黎曼曲面不只是它底層的實曲面：共形（全純）結構是額外的資料。所有虧格 1 的曲面在拓樸上都是同一個環面，但它們構成一個單參數族、兩兩不等價的黎曼曲面——切勿把兩者混為一談。