複流形（complex manifold）

光滑流形是把 R^n 的小塊拼接起來、使其上能做微積分的空間。複流形是同樣的想法，只是局部小塊改成複空間 C^n 的開集，而黏合的規則更嚴格：兩塊重疊處的換座標映射必須是全純的——複可微的——而不只是光滑的。全純比光滑稀有且僵硬得多（它逼使函數的實部與虛部滿足柯西-黎曼方程，因而是調和且解析的），所以複流形比它底下那個 2n 維實流形帶有緊得多的結構。

精確地說，一個 n 維複流形是一個拓樸空間 M，配有一族圖卡 phi: U -> C^n，其轉移映射 phi_b 與 phi_a^{-1} 的複合是雙全純的（全純且逆也全純）。複維數是 n；實維數是 2n。每個複流形都典範地是一個可定向的 2n 維實流形，但反過來則大失所望：大多數偶維光滑流形根本不容許任何複結構，甚至連哪些球面容許（只有 S^2，以及可能的 S^6，至今未決）都是難題。最簡單的例子是 C^n 本身、複射影空間 CP^n（本學科的主力）以及任何光滑射影簇；一維複流形恰恰就是黎曼曲面。

使這套理論強大的，正是全純函數的稀缺：在緊複流形上，唯一的整體全純函數只有常數（一種極大值原理現象），所以所有有趣的結構都棲身於線叢的全純截面、於上同調、以及複結構與度量的交互作用之中。一個常見陷阱：複流形並不只是一個碰巧在座標下看起來像 C^n 的偶維實流形——圖卡的全純相容性是貨真價實的額外資料，等價於一個可積的殆複結構 J，而大多數殆複結構並不可積。