全純微分（holomorphic differential）
在平面上，dz 是你要積分的基本對象：「integral of f dz」是複分析的家常便飯。在彎曲的黎曼曲面上你無法使用單一的整體 z，所以正確的對象是「微分」——一個局部讀作 f(z) dz、且在換圖卡時正確變換的東西，使得沿路徑對它積分有不依賴座標的意義。全純微分是完全沒有極點的那種：處處有限，最溫和也最基本的一種。
精確地說，黎曼曲面 X 上的全純 1 形式，是在每張帶座標 z 的圖卡中指定一個表達式 f(z) dz（f 全純），使得在重疊處諸表達式依連鎖律相符：若 w = w(z) 是轉移，則 w 圖卡的 g(w) dw 等於 f(z) dz，即 g(w(z)) w'(z) = f(z)。「dz」不是裝飾——它正是使此對象作為餘切叢（典範線叢）截面而變換的東西，故其零點與極點是內蘊的。「全純」意味 f 在任何圖卡中都無極點，故微分有零點卻絕無極點；其除子是有效的。宏大的事實：在虧格 g 的緊曲面上，全純 1 形式構成一個維數「恰為」g 的複向量空間。
為何重要：全純微分是虧格的解析化身，也是最深刻定理的引擎。它們的維數 g 與拓樸虧格相符（霍奇理論：g 來自調和形式）。一組基 omega_1, ..., omega_g 讓你沿迴圈積分得到週期，這些週期組裝成週期格與雅可比簇，並讓你寫出阿貝爾-雅可比映射 p -> (integral from p_0 to p of omega_1, ..., integral of omega_g)。典範類是任何亞純微分的除子類，全純者是其中的有效代表。誠實要點：全純微分「不是」整體上某全純函數乘以 dz——並沒有整體的 z。緊曲面上沒有非常數全純函數，卻有 g 個獨立的全純 1 形式，正因為 dz 的變換律與函數的不同。
在環面 C/L 上，形式 omega = dz 下降為一個整體的全純 1 形式：它無零點亦無極點（與 g = 1 的 deg K = 2g - 2 = 0 相符），且在差一個常數倍下是「唯一」的全純微分——與計數 g = 1 相符。把 dz 沿兩個基迴圈積分得到定義格 L 本身的兩個週期。
環面上唯一（差一常數倍）的全純微分是 dz；它沿兩個迴圈的週期生成該格。
全純 1 形式是餘切叢的截面，而非某固定 dz 乘上一個函數；dz 依連鎖律變換，這就是為何一個「沒有」非常數全純函數的緊曲面仍能承載 g 個獨立的全純微分。