泰利斯定理

把一條線的兩端釘在圓直徑的兩端，再讓鉛筆沿著圓周走、始終在筆尖處把線拉直——兩段線在筆尖總是以完美的直角相交，無論鉛筆停在上半圓周的何處。這個乾淨的事實——半圓上任一點看直徑都是 90 度——就是泰利斯定理，以早期希臘幾何學家米利都的泰利斯命名。

精確地說：若 A、B 是圓直徑的兩端點，C 是圓上任一其他點，則 angle ACB 為直角（90 度）。它是圓周角定理中所截弧為半圓的特例：半圓弧為 180 度，所以對著它的圓周角是其一半，90 度。逆定理同樣有用：若 angle ACB 為直角，則 C 落在以 AB 為直徑的圓上——所以以某固定斜邊為底的所有直角三角形，其直角頂點描出一個以該斜邊為直徑的圓。

泰利斯定理是日常工具：它無需三角板就能作出直角（在任一線段上以其為直徑畫半圓，取任一圓周點），它能定位圓心（兩個這樣的直角），並說明為何直角三角形斜邊的中點與三頂點等距（它是外心）。關於歸屬與範圍的提醒：這個「定理」只是半角的特例——它並非說每個圓周角都是 90 度，只有對著直徑的才是。而且「泰利斯定理」這名稱，令人混淆地，也用於另一個關於平行線截出成比例線段的結果（截線定理）；此處我們嚴格指半圓直角的結果。