圓周角

現在你不站在圓心，而是站在圓周上，再把兩臂張向另外兩個圓上點。你在那裡形成的角就是圓周角。值得注意的是，如果你把視點滑到同一段弧上的任何其他位置，你看那兩點所張的角都不變——這段弧上的每個座位看那條弦的角度都相同。

精確地說，圓周角是頂點在圓上、兩邊為伸向圓上另兩點之弦的角。圓周角定理是它的招牌性質：圓周角恰為對著同一段弧的圓心角的一半——等價地，為它所截弧度數的一半。所以若一段弧為 100 度，對著它的每個圓周角都是 50 度，無論其頂點落在圓周其餘何處。隨之有兩個直接推論：對著同一段弧的圓周角相等（「同弓形」性質）；而半圓中的圓周角——對著一條直徑，即 180 度的弧——是直角（最後這個就是泰利斯定理）。

圓周角定理是圓的幾何的主力，支撐著圓內接四邊形、弦切角，以及無數的角度追逐。其證明依圓心相對於該角落在何處分成幾種情形，但最乾淨的情形（一邊為直徑）用兩條半徑構成的等腰三角形與外角定理，證出圓心角是圓周角的兩倍。要注意的迷思是：別以為圓內任何角都是其弧的一半。減半只在頂點「在」圓上時成立。頂點在圓心給出整段弧；頂點嚴格在圓內或圓外則又是另一條規則（兩段弧的平均或半差）。