鑲嵌（tessellation）
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鑲嵌是用一些彼此密合、既無縫隙也無重疊的形狀，把平坦表面完全鋪滿的方式——正如浴室磁磚、磚牆、蜂巢與人行道所做的。平面上每一處都恰在一塊磚之內（或落在共用的邊上），而圖樣原則上可朝各方向永遠延續。這個字源自拉丁文 tessella，即羅馬鑲嵌畫所用的小方磚。
決定性的條件發生在頂點——磚角相會的點。為使鋪磚密合而無縫無疊，在每個頂點相會的各磚內角之和必須恰為 360 度，即一整圈。這條算術事實掌控了哪些形狀能鋪、以及怎麼鋪。例如六個正三角形（各 60 度，6 x 60 = 360）繞一點密合；四個正方形（4 x 90 = 360）密合；三個正六邊形（3 x 120 = 360）密合。鑲嵌依其規則程度分類：正鑲嵌只用一種正多邊形（只有三角形、正方形或正六邊形可行）；半正則或阿基米德鑲嵌用數種正多邊形但每個頂點排列相同（共有八種）；半規則鑲嵌則允許不只一種頂點排列。
鑲嵌是對稱化為無限且週期之處：靠平移重複的鑲嵌，其對稱群是十七種壁紙群之一。並非每個形狀都得是正多邊形——任何三角形與任何四邊形都能鋪滿平面，某些五邊形可以，而像艾雪（M. C. Escher）這樣的名家用環環相扣的鳥與魚鋪磚。但這裡也有一道深刻的前沿：有些形狀，如潘洛斯磚，只能以不重複（非週期）的方式覆蓋平面，顯示「鋪滿平面」與「週期地鋪滿它」是真正不同的問題。
檢驗為何正五邊形無法鋪磚。正五邊形的內角是 108 度。繞一個頂點，需各角合計 360。但 360 / 108 約為 3.33——三個五邊形給出 324 度（缺 36），四個給出 432（疊 72）。沒有整數個正五邊形的角能合計到 360，故它們留下縫隙、無法單獨鑲嵌。
頂點規則：在一點相會的各磚角必須恰好合計 360 度。
正五邊形無法鋪磚，但某些不規則五邊形可以——故籠統地說「五邊形無法鑲嵌」是錯的；是正五邊形不滿足 360 度的頂點條件。