傳遞函數的極點（poles of a transfer function）

把傳遞函數寫成分數 H(s) = 分子 / 分母。極點是使分母為零的 s 值——H(s) 暴增到無窮的那些點。它們是一小撮數字（常為複數），而令人驚訝的是，光是知道它們落在複平面的何處，就能告訴你系統如何振鈴、是會穩定下來還是失控、以及快慢如何。

極點恰好是特徵多項式的根——正是齊次理論中產生自然模態 e^(rt) 的那些根。這並非巧合：位於 s = r 的極點，對響應貢獻一個行為像 e^(rt) 的項。從幾何上讀這個平面。極點的實部決定增長或衰減：實部為負表示 e^(rt) 衰減（模態消逝），實部為正表示它增長（模態失控），實部為零表示既不增也不消。極點的虛部決定振盪：非零虛部表示模態擺動，其大小就是振鈴頻率。複數極點成共軛對出現，給出衰減或增長的正弦。

這幅圖像把穩定性與自然頻率綁在一起。線性系統恰好在每個極點都嚴格落於左半平面（所有實部為負）時穩定，因為那時每個模態都衰減。極點逐漸逼近虛軸，意味著一個勉強阻尼、長久振鈴的模態；極點越入右半平面，意味著不穩定。控制工程師藉由刻意「移動」極點來設計系統——極點配置就是靠重新安放幾個數字來操縱整個行為。