傳遞函數（transfer function）

如果系統是一台接受輸入、產生輸出的機器，傳遞函數就是那個完整捕捉這台機器作為的單一對象——在 s 域中度量。它是輸出對輸入的比值，前提是你已把兩者都譯成拉普拉斯變換、並假設系統從靜止開始。一個函數 H(s) 告訴你關於系統行為的一切。

從一個常係數線性常微分方程出發，例如 a x'' + b x' + c x = f(t)，初值為零。對兩側變換：(a s^2 + b s + c) X(s) = F(s)。解出輸出變換與輸入變換之比，得到 H(s) = X(s)/F(s) = 1/(a s^2 + b s + c)。分母是系統的特徵多項式——正是齊次理論中其根給出自然模態的同一個多項式。所以傳遞函數就是特徵多項式的倒數（再乘上輸入耦合帶來的任何分子），而要求某輸入下的輸出，你只需算 X(s) = H(s) F(s) 再反變換。

傳遞函數是線性系統、訊號與控制的核心對象。它的反變換是脈衝響應 h(t)，所以 s 域裡的「乘以 H(s)」就等同於時域裡的「與 h(t) 卷積」。它分母的根，即極點，決定穩定性與自然頻率；它在 s 沿虛軸行進時的行為給出頻率響應。關於線性系統的幾乎每個問題，都化成關於 H(s) 的問題。