魯歇定理的對稱形式（the symmetric form of Rouché's theorem）
/ roo-SHAY /
通常的魯歇定理把一個函數當老闆、另一個當小修正。但有時兩者都沒有乾淨地壓過對方，你只知道這兩個函數在邊界上從不剛好指向完全相反的方向。對稱形式恰恰捕捉了那個較弱、較不偏袒的條件——而事實證明那就夠了。
敘述：設 f 與 g 在簡單閉圍道 gamma 上及其內部解析、在 gamma 上都不為零，並設 gamma 上每一點都有 |f(z) - g(z)| 嚴格小於 |f(z)| + |g(z)|。則 f 與 g 在 gamma 內的零點數相同（按重數計）。那個不等式的幾何意義很鋒利：|f - g| < |f| + |g| 失效（變成等號）的時刻，恰恰是 f 與 g 指向相反方向之時，也就是 g / f 為負實數之時。故假設只是在說：沿 gamma，g / f 從不落在負實軸上。那麼曲線 g / f 停留在割開的平面（平面去掉負實數），它單連通且避開 0，故繞原點的卷繞數為 0——意味 f 與 g 繞 0 的圈數相同，從而零點數相等。
為何偏好這個版本：經典假設 |g| < |f| 是不對稱的，當兩函數大小相當時驗證起來頗惱人。對稱不等式較溫和，且由經典假設蘊含（若 |g - f| < |f| 則當然 |g - f| < |f| + |g|），故它從不要求更多、而常要求更少。當你比較的是兩個真正的競爭者、而非一個函數與一個微小擾動時，就該動用這個形式。同樣的誠實適用：不等式必須嚴格且在整條圍道上成立，且兩函數在 gamma 上都不能為零。
若兩個多項式 p 與 q 在某圓上滿足 |p(z) - q(z)| < |p(z)| + |q(z)|（故兩者在該處皆不為零、且從不指向相反方向），則它們在內部圈住的根數相同——即使誰的大小都沒壓過誰。
g/f 從不碰到負實軸這個條件，恰恰就是 |f - g| < |f| + |g|。
對稱不等式嚴格弱於經典的 |g| < |f|，故更常適用；但它仍要求在 gamma 上處處嚴格、且 f 與 g 在圍道上皆不為零。