輻角原理（the argument principle）

假設你帶著一個解析函數 f 沿著一塊區域的邊緣繞一圈，而你不去看 f 的大小，只看它指的方向——也就是角度 arg f(z)。當你走完這一圈，這個指針可能轉來轉去最後回到出發點，但途中它也許先轉了好幾整圈。輻角原理說：這淨轉動的整圈數恰恰是一個計數——圈內 f 有多少零點，減去多少極點，每個都按其階加權。指針的幾何竟然偷偷數出了函數的根。

精確地說：設 f 在簡單閉圍道 gamma 上及其內部為亞純（gamma 本身上沒有零點或極點），逆時針繞一圈。設 Z 為內部零點個數（按重數計）、P 為內部極點個數（按階計）。則 (1 / (2 pi i)) 乘以 f'(z) / f(z) dz 沿 gamma 的積分等於 Z 減 P。證明直接由留數定理用在對數導數 f'/f 上得出：在 m 階零點附近，f(z) 像 c (z - z_0)^m，故 f'/f 在該處有留數為 m 的單極點；在 k 階極點附近，f(z) 像 c (z - z_0)^(-k)，故 f'/f 有留數為 -k 的單極點。把留數加起來便得 Z 減 P。等價地，同一個積分量度的是 arg f 繞迴路一圈的淨變化除以 2 pi——這正是像曲線 f(gamma) 繞原點的卷繞數。

這是本學科中最有用的定理之一，因為它把「這裡面有幾個根？」化為「盯著邊界看」。你根本不必找出零點就能數出它們。它驅動了魯歇定理、給出代數基本定理的乾淨證明、為沿圍道追蹤 arg f 的數值求根法提供根據，並支撐工程裡的穩定性判據（奈奎斯特判據其實就是偽裝的輻角原理）。它唯一要求的紀律：f 在圍道本身上不能有零點或極點，否則積分根本沒有定義。