卷繞數（winding number）
當平面上畫了一條封閉迴路，而你固定一個不在迴路上的點，對於「這條迴路繞那個點幾圈？」這個問題有一個精確的整數答案。逆時針的環行計為正，順時針計為負，繞兩圈的迴路計為二。這個整數就是迴路關於該點的卷繞數——一切涉及洞的事物的基本記帳工具。
它有一個漂亮的積分公式。對封閉圍道 C 與不在 C 上的點 z0，卷繞數 n(C, z0) 等於 (1 / (2 pi i)) 乘以 dz / (z - z0) 沿 C 的積分。因子 1/(z - z0) 是模型的奇異被積函數，而這個圍道積分總是得出 2 pi i 乘以一個整數——恰好是逆時針的淨轉數。你也可以從幾何上把卷繞數讀作：當 z 沿 C 繞一圈時 (z - z0) 的輻角的總變化除以 2 pi：每繞 z0 一整圈，角度增加 2 pi。
卷繞數是一般定理計分的方式。柯西定理的同調形式與留數定理都以圍道關於每個奇點的卷繞數來加權該奇點：繞 C 的積分等於 2 pi i 乘以對各奇點求和的（關於該點的卷繞數）乘以（那裡的留數）。所以在計算留數之前，你先讀出對每個極點，你的圍道繞它幾圈——通常是 0（在外）、或 +1（逆時針圈住一次）。卷繞數把「這條迴路捕捉了哪些洞、各幾次」化為你能代入公式的確切數字。
對圓 z(t) = z0 + e^(i t)，t 從 0 到 2 pi，關於 z0 的卷繞數為 (1/(2 pi i)) 乘以 (i e^(i t) / e^(i t)) dt 的積分 = (1/(2 pi i)) 乘以 i dt 從 0 到 2 pi 的積分 = (1/(2 pi i))(2 pi i) = 1。繞兩圈（t 到 4 pi）給出 2；反向則給出 -1。
圓關於其圓心的卷繞數為 +1；它總是整數。
卷繞數總是整數，且在移除曲線後平面所剩的每個連通區域上為常數——只有當你越過曲線本身時它才會跳變。