柯西定理的同調形式（homology form of Cauchy's theorem）
/ homology: huh-MOL-uh-jee /
簡單的柯西定理假設單連通區域；同倫版本要求迴路可收縮。同調形式是最一般、最靈活的陳述，完全把你從區域的形狀中解放出來。它在任何開集上都管用，只要求一個算術條件：封閉圍道（或它們的組合，一個「閉鏈」）對每個解析 f 都給出零積分，恰當它關於區域外每個點的卷繞數都為零時。
精確地說：設 f 在開集 U 上解析，又設 C 是 U 中一個在 U 內零調的閉鏈，意即對每個不在 U 中的點 w 都有卷繞數 n(C, w) = 0。則 f 沿 C 的積分為零。直觀如此：迴路能產生非零積分的唯一方式，是環繞著 U 所缺少的某物——一個洞或一個被移除的點。若迴路關於每個缺席的點都繞零圈，它就沒有環繞任何有問題的東西，積分便塌縮為零，正如單連通情形。單連通是 U 沒有外部點需要操心的特例，故該條件自動成立。
這是驅動一般留數定理的版本。對在 U 去掉其奇點後零調的閉鏈 C，f 沿 C 的積分等於 2 pi i 乘以對各奇點 a 求和的 n(C, a) 乘以 f 在 a 的留數。卷繞數負責記帳，以重數與正負號計入每個奇點。同調形式是簡潔的最終定論：它告訴你圍道積分只取決於解析性，加上圍道如何環繞所缺之物，而不假設區域的整體形狀。
在 U = 平面去掉 {0, 1} 上，設 C 為一個 8 字形，逆時針繞 0 一圈、順時針繞 1 一圈。則 n(C, 0) = +1、n(C, 1) = -1，而對任何在 U 上解析的 f，沿 C 的積分等於 2 pi i 乘以（0 處留數減 1 處留數）。不需要單連通的前提——只需卷繞數。
同調形式以圍道關於每個奇點的卷繞數來加權該奇點。
零調比零倫弱：一個閉鏈可以所有卷繞數都為零（因而積分為零）卻無法連續收縮成一點——是同調而非同倫，才是積分定律的確切條件。