對數導數（the logarithmic derivative）
當你對一個函數的對數求導，連鎖律遞給你一個整齊的分式：log f(z) 的導數是 f'(z) / f(z)。這個比值 f'/f 就是對數導數。它是函數變化的速率，但是相對於它當下自身的大小來量度的——就像看百分比增長率而非絕對增長率。它是輻角原理裡的核心角色。
有兩個特性使 f'/f 成為計數的對的工具。其一，它把乘積化為和：f g 的對數導數是 f'/f 加 g'/g，因為 log(f g) = log f + log g。其二，也是決定性的，它把零點與極點讀成帶整數留數的單極點。若 f 在 z_0 有 m 階零點，寫 f(z) = (z - z_0)^m h(z) 且 h(z_0) 不為零；則 f'/f = m / (z - z_0) 加 h'/h，而第二項在 z_0 處解析，故 f'/f 在該處有單極點、留數恰為 m。對 k 階極點作完全相同的計算則得留數 -k。零點或極點的階變成一個你可以積分的留數。
這正是輻角原理運作的原因：把 f'/f 沿圍道積分再除以 2 pi i，便加總這些整數留數，得（零點）減（極點）。對數導數還從幾何上解釋它與輻角的聯繫——寫 f = |f| e^(i arg f)，便得 f'/f dz = d(log|f|) + i d(arg f)，故積分的虛部追蹤的是 arg f 的淨變化。唯一的陷阱：log f 自身是多值的（arg f 只在差 2 pi 的意義下確定），但 f'/f 卻是完美單值的，這正是為何我們處理的是導數而非對數本身。
對 f(z) = (z - 1)^2 (z - 3)，對數導數為 f'/f = 2 / (z - 1) + 1 / (z - 3)。一條圈住兩點的圍道給出 積分 / (2 pi i) = 2 + 1 = 3 個零點，z = 1 處的二重根正確地計了兩次。
每個因式為 f'/f 貢獻一個單極點，其留數即該因式的重數。
儘管名為對數導數，這裡不必選取任何真正的對數——f'/f 是單值的，在 f 不為零且解析之處都有良好定義，即使 log f 是多值的。