留數（residue）

想像一個函數在某一個點上行為不端——它在那裡爆掉、或劇烈震盪——但在它周圍一個小小的去心圓環上卻完全規矩。留數是一個數，它捕捉了那個壞點對於積分而言最重要的單一資訊。在函數的局部展開的無窮多項中，當你繞著該點積分時恰好只有一項存活，而留數就是那位倖存者的大小。

精確地說：在孤立奇點 z_0 附近，解析函數有羅朗級數 f(z) = sum a_n (z - z_0)^n，其中 n 跑遍所有整數，正的負的都有。f 在 z_0 的留數，記作 Res(f, z_0)，就是係數 a_{-1}——即唯一那一項 1 / (z - z_0) 的係數。為何那一項特別：若你把 (z - z_0)^n 繞 z_0 的小圓積分，對每個整數 n 你都得到 0，唯獨 n = -1 例外，此時積分為 2 pi i。因此把整個羅朗級數逐項積分會殺光一切，只剩 a_{-1} 項，使得 f(z) dz 沿該圓的積分 = 2 pi i 乘以 a_{-1}。留數正是繞奇點一圈的積分所回報的東西。

這是本學科最強大計算機制的拱心石。它讓你把繞一條曲線的整體積分，換成一堆局部數的和，每個被圍住的奇點貢獻一個（這就是留數定理）。實務上你很少透過寫出整個羅朗級數來求 a_{-1}——對極點有快捷公式。但作為 a_{-1} 的定義才是誠實的，而對本性奇點，沒有任何極點公式可用，展開級數正是找留數的辦法。