映射的拓撲度（the topological degree of a map）

把一條橡皮筋繞在一根固定的木樁上，變形後放手；只要你從不讓它越過木樁，它纏繞木樁的圈數（連方向一起算）就不會改變。那個纏繞數就是一個拓撲度——一個「繞了幾圈」的整數，在連續形變下穩定不變。在複分析裡它恰恰是像曲線的卷繞數，並賦予輻角原理的計數一個拓撲的靈魂。

對解析映射 f 與一條避開 f 零點的閉圍道 gamma，映射 z 映到 f(z) 在值 0 處量度的拓撲度，就是像曲線 f(gamma) 繞原點的卷繞數：逆時針淨轉圈數。由輻角原理，這個整數等於 gamma 內 f 的（零點）減（極點）。關鍵事實是不變性：若你形變 gamma、或連續地形變 f，而從不讓像曲線穿過 0，這個度就不能跳變——它是離散整數，而連續形變無法把整數改變一個分數量，故它保持固定。這正是計數穩健的原因：f 的微小擾動不影響圈住的零點數，直到某個零點越過邊界為止。

這個觀點統合了許多東西。魯歇定理恰恰是說：夠小的擾動不改變度（像曲線停留在 0 的同一側）。代數基本定理化為一個度的論證：n 次多項式把一個大圓映成繞 0 共 n 圈的曲線，故內部必有 n 個根。同樣的度的概念遠遠超出複分析——延伸到拓撲裡球面與流形之間的連續映射——但在此它有一個作為圍道積分的乾淨解析公式。誠實的一點：度是按符號與重數計的，故若你忘了極點按負計，它可能藏起抵消。