斯坦因-陳方法（Stein-Chen method）
/ stine chen /
斯坦因-陳方法是一種技巧，用來界定相依指示變數之和的分布與卜瓦松分布有多接近，並給出明確、可計算的誤差界——而非僅僅一個漸近極限。經典卜瓦松極限定理說許多罕見獨立事件之和近似卜瓦松，但那是極限陳述且假設獨立性。在組合學中人們不斷遇到相依罕見指示變數之和（孤立頂點數、隨機置換的不動點數、小子圖出現的次數），而人們想要的不只是「近似卜瓦松」，而是一個在相依下仍成立的誤差定量界。斯坦因-陳方法正提供此者。
這個想法由 Charles Stein 提出、由 Louis Chen 改編到卜瓦松情形，是一種刻畫而非極限。隨機變數 Z 是平均 lambda 的卜瓦松，當且僅當對所有有界 f 有 E[lambda f(Z+1) - Z f(Z)] = 0——這是卜瓦松的斯坦因恆等式。要衡量計數 W = sum of indicators X_i 的分布離 Poisson(lambda)（lambda = E[W]）有多遠，人們對檢驗函數 g 解斯坦因方程 lambda f(k+1) - k f(k) = g(k) - g 的卜瓦松期望，再利用 X_i 的相依結構界定 E[lambda f(W+1) - W f(W)]。在局部相依情形，標誌性定理給出形如下的全變差界：distance(W 的分布, Poisson(lambda)) <= (b_1 + b_2)(1 - e^(-lambda))/lambda，其中 b_1 = 對相依鄰域中的 i, j 求和的 E[X_i] E[X_j] 衡量「自身」相依，b_2 = 對重疊對求和的 E[X_i X_j] 衡量共變異，兩者皆由每個索引所選的相依鄰域建構。
其重要性在於它使卜瓦松近似成為一個定量、容忍相依的工具：你得到一個明確數值界定全變差中的誤差，對有限 n 有效，即使指示變數正相關或負相關。這正是離散結構機率研究所需——例如證明稀疏隨機圖中三角形數近似卜瓦松且誤差受控，這隨即給出無三角形的極限機率為 e^(-lambda)。誠實的提醒是界的品質只與你能構造的相依鄰域一樣好：此方法要求對每個 X_i 找出一組它強烈依賴的索引並論證其餘近乎獨立；當相依是全域或長程時，界 b_1, b_2 不會變小，方法便毫無有用所獲。對卜瓦松的全變差接近本身也不保證常態極限——那是常態近似斯坦因方法的範圍。
G(n, p) 中孤立頂點數，p = (log n + c)/n。令 W 計數孤立頂點；W = sum of X_i，其中 X_i 指示頂點 i 沒有鄰居，P(X_i = 1) = (1-p)^(n-1)，故 lambda = E[W] -> e^(-c)。頂點 i 的指示主要透過共用潛在邊依賴（少數）其他頂點；斯坦因-陳對 b_1 + b_2 的界為 O(1/n)，故離 Poisson(e^(-c)) 的全變差距離為 O(1/n)。因此 P(無孤立頂點) -> exp(-e^(-c))，即經典的連通性門檻極限，現在帶有明確的誤差速率。
一個在相依下仍成立、對 Poisson(lambda) 的明確全變差界：distance <= (b_1+b_2)(1-e^(-lambda))/lambda。
界只與你能建構的相依鄰域一樣好：當每個 X_i 只強烈依賴少數其他者時極佳，但全域或長程相依使 b_1, b_2 很大，方法便毫無所獲。