卜瓦松隨機測度（Poisson random measure）
/ PWA-sohn /
卜瓦松隨機測度是卜瓦松過程的高維推廣：它不是在時間線上計數點，而是計數散落於任意測度空間中的點，互斥區域中的點數獨立且服從卜瓦松分布。它正是同時記錄李維過程所有跳躍的對象——每個跳躍是（時間，跳幅）空間中的一個點——也是李維-伊藤分解中的積分子。
給定空間 E 上的 sigma-有限測度 mu（強度），卜瓦松隨機測度 N 是一個隨機計數測度，使得 (i) 對任意可測 A，N(A) 服從均值 mu(A) 的卜瓦松分布（若 mu(A) = infinity 則 N(A) = infinity 幾乎必然），且 (ii) 對互斥的 A_1, ..., A_n，計數 N(A_1), ..., N(A_n) 相互獨立。對李維過程，跳躍構成 (0, infinity) x (R\{0}) 上強度為 dt nu(dx) 的卜瓦松隨機測度：時間區間 (s, t] 內大小落在 B 中的跳躍數服從均值 (t-s) nu(B) 的卜瓦松。對它積分測試函數：f(s, x) 對 N(ds, dx) 的積分實際上把 f 在跳躍點上求和，而主公式 E[exp(積分 f dN)] = exp(積分 (e^f - 1) d mu)（指數／坎貝爾公式）生成所有拉普拉斯泛函。
卜瓦松隨機測度是整個跳躍理論的嚴格基礎：補償測度 N - dt nu 給出小跳躍鞅，李維-伊藤分解是對 N 的積分，而跳躍隨機微積分（帶跳躍的伊藤公式）以對 N 及其補償項的積分書寫。須理清的微妙處：當 mu 無窮（如無窮李維測度在零附近）時點的總數無窮，故原始積分 f dN 未必收斂——對在零附近無界的被積函數須用補償測度，這正是小跳躍需要補償的原因。
把李維過程的每個跳躍畫成座標為（跳躍時間，跳躍大小）的一個點。所得的散點圖是 (0, infinity) x (R\{0}) 上強度為 dt nu(dx) 的卜瓦松隨機測度之實現：若 nu 在大小 0 附近無窮則點在那裡密集，對大尺寸則稀疏。計數方框 (s,t] x B 中的點得一個 Poisson((t-s)nu(B)) 變數。
每個李維跳躍是一個點；點雲即卜瓦松隨機測度。
當強度無窮（李維測度在零附近無窮）時點有無窮多個，故對在 0 處衰減不夠快的被積函數，f dN 的積分發散——須用補償測度 N - dt nu。坎貝爾公式 E[e^(integral f dN)] = e^(integral (e^f - 1) d mu) 是主力工具。