揚松不等式（Janson's inequality）
/ YAN-son /
揚松不等式是對相依指示變數之和的下尾的銳利指數界——具體而言，是「一族『遞增』壞事件無一發生」的機率之界。它是填補第二動差法所留間隙的工具。設 X = sum of indicators 1_{A_i}，其中每個 A_i 是某特定小子結構（比如固定子圖）出現在隨機物件中的事件。第一動差給出 E[X]；第二動差能證明 X 以高機率 > 0；但要界定 P(X = 0)——即那些子結構連一個都不出現的機率——人們想要一個指數級小的估計，而切比雪夫只給出多項式級的。揚松不等式提供了那個指數界。
情境是基底集合的隨機子集 R，其中每個元素獨立被納入，每個 A_i 是 R 含有某固定子集 S_i 的事件（一個單調遞增事件）。記 mu = E[X] = sum P(A_i)，並令 Delta = 對所有 i 不等於 j 且 S_i, S_j 重疊的有序對 (i,j) 求和的 P(A_i 且 A_j)——即重疊事件之間的總成對相依。揚松不等式陳述 P(X = 0) = P(無 A_i 發生) <= exp(-mu + Delta/2)。當事件近乎獨立時 Delta 很小，此式約化為大致 e^(-mu)，與獨立事件的答案 product of (1 - P(A_i)) 吻合。配套的「擴展」揚松不等式處理 Delta >= mu 的範圍，給出 P(X = 0) <= exp(-mu^2/(2 Delta))，這是稠密範圍所需的形式。證明依賴 FKG 相關不等式：遞增事件正相關，故 P(無一發生) 受一個 FKG 式乘積展開控制。
其力量在於：對單調的子圖出現事件，它給出完全缺席的真正指數級小機率，這是切比雪夫做不到的，而且帶有明確常數。這正是證明某性質以極高機率（機率 1 - e^(-c)）而非僅以高機率成立所需，也是隨機圖中銳利門檻結果與子圖計數下尾大偏差的核心。誠實的提醒是揚松不等式是單邊且結構受限的：它只界下尾（P(X = 0) 或 P(X 小)），它要求 A_i 是獨立座標上的遞增事件，且界 exp(-mu + Delta/2) 一旦 Delta 超過 2 mu 便無用——那正是擴展不等式或另一種工具必須接手的範圍。
G(n,p) 不含三角形的機率。令 A_i 遍歷 C(n,3) 個潛在三角形；mu = E[X] = C(n,3)p^3，而由共用一條邊的三角形得 Delta ~ n^4 p^5。揚松給出 P(無三角形) = P(X=0) <= exp(-mu + Delta/2)。當 p 剛超過 1/n 時，mu -> 無窮 而 Delta/mu 保持受控，故無三角形的機率隨 mu 指數級小——這是第二動差的多項式界 P(X=0) <= Var/E^2 無法給出的確切速率。
P(X = 0) <= exp(-mu + Delta/2)：基於 FKG 的單調計數下尾指數界。
揚松是單邊的且需要獨立座標上的遞增事件；一旦 Delta > 2 mu，界 exp(-mu + Delta/2) 便無用，此時須改用擴展不等式 exp(-mu^2/(2 Delta))。