佩利-齊格蒙不等式（Paley-Zygmund inequality）
/ PAY-lee ZIG-mund /
佩利-齊格蒙不等式是第二動差法的一行式夥伴，它對「非負隨機變數達到其平均值之固定比例」的機率給出定量下界。切比雪夫從上下兩側控制 X 偏離平均的頻率，佩利-齊格蒙則直接控制下尾：它保證 X 以一個遠離零的機率相當地大，同樣只用前兩個動差。它正是口號「相對變異數小的非負變數以常數機率為正」背後的精確陳述。
此不等式陳述：對具有限二階動差的非負隨機變數 X 與任意 theta in [0,1]，P(X > theta E[X]) >= (1 - theta)^2 (E[X])^2 / E[X^2]。取 theta = 0 即得 P(X > 0) >= (E[X])^2 / E[X^2]，這是最簡潔的第二動差正性界。證明是柯西-施瓦茨的一次應用：寫 E[X] = E[X; X <= theta E[X]] + E[X; X > theta E[X]]，把第一塊以 theta E[X] 界住，對第二塊套用柯西-施瓦茨得 E[X; X > theta E[X]] <= sqrt(E[X^2]) sqrt(P(X > theta E[X]))。整理即得所述界。比值 (E[X])^2 / E[X^2] 是關鍵量——它恰在變異數相對於平均平方很小時接近 1。
其價值在於把第二動差條件 Var(X) = o(E[X]^2) 轉化為對某機率的真正下界，而不只是 P(X = 0) 很小的陳述，而且對任何門檻 theta 都帶有明確常數。在隨機圖理論中，它是證明某計數以常數機率至少為其平均一定比例的標準方法，再結合一個集中結果（鞅或 Janson 界）往往可升級為以高機率成立。誠實的提醒是：當動差比值有界時，佩利-齊格蒙僅給出機率的常數下界；要得到機率趨於 1，你仍需變異數的階嚴格更小，與第二動差法完全相同。
若 X 計數某物且 E[X^2] <= (1 + o(1))(E[X])^2（第二動差條件），則 P(X > 0) >= (E[X])^2/E[X^2] -> 1，故 X 以高機率為正。若改為 E[X^2] = 2(E[X])^2，則 theta=0 的佩利-齊格蒙僅保證 P(X > 0) >= 1/2——一個常數，而非以高機率；此時你會再加一個集中步驟來收尾。
P(X > theta E[X]) >= (1-theta)^2 (E[X])^2 / E[X^2]：由兩個動差得到的下尾下界。
當動差比值有界時，佩利-齊格蒙本身只給出常數機率下界；要機率趨於 1 仍需 Var(X) = o(E[X]^2)，即完整的第二動差條件。