銳門檻與粗門檻（sharp versus coarse thresholds）

一旦知道某單調性質有門檻 p*，下一個問題就是相變發生得多突然。若該性質的機率在一個遠窄於 p* 本身的 p 窗口內從近 0 跳到近 1——形式上，若對每個固定 epsilon > 0，當 p 掃過一個長度為 o(p*) 的區間時，性質的機率從 epsilon 移到 1 - epsilon——則稱門檻為銳。若相變散布在一個與 p* 同數量級（其常數倍）的窗口上，則為粗。此區分就是「突然切換」與「漸漸淡入」之別。

由 Friedgut 與 Kalai、再由 Friedgut 的銳門檻定理精確化的深刻事實是：一個性質是銳或粗，受對稱性與「局部性」支配。粗門檻由局部障礙造成：一個性質本質上只在它能被某個固定有界大小子圖的出現所近似時，才有粗門檻。含三角形之所以是粗的，正因它是局部事件「某處有三個兩兩相連的頂點」，而在門檻附近三角形數目近似卜瓦松，故 P(至少一個三角形) 趨於 1 - e^(-mu)，當均值 mu = (np)^3/6 在 p 的常數倍窗口內由 0 掃到無窮時，它平滑地由 0 移到 1。無法化約為局部見證者的整體、對稱性質——連通、哈密頓性、k 著色性、無孤立頂點——有銳門檻；Friedgut 判準說，銳門檻只在存在這種局部成因時才失效。

這之所以重要，是因為銳度告訴你系統的行為像乾淨的相變（水變冰）還是軟性的過渡。對銳門檻常能釘住確切的臨界窗口、甚至其內的極限機率；例如連通性，當 p = (log n + c)/n 時極限機率為 e^(-e^(-c))，與孤立頂點數目趨於卜瓦松的雙重指數律相同。一個常見的誤解是所有有趣的門檻都是銳的；誠實的圖像是：子圖出現的門檻是粗的、由卜瓦松支配，而多數「整體」單調性質是銳的——而在具體情形中證明銳度，可能需要離散傅立葉分析與影響不等式這類重型機器。