無窮遠處的奇點（singularity at infinity）
在黎曼球面上，無窮只是另一個點——北極，平面所有直線奔向之處。所以自然要問：函數在那裡、在無窮遠處表現如何？它是安定下來、爆掉，還是發狂？把函數在無窮遠的行為分類，正是先前那個問題，只是透過一個簡單的變數代換來看。
訣竅是代入 w = 1/z，把無窮遠點（z 很大）變成點 w = 0（w 很小）。定義 g(w) = f(1/w) 並研究 g 在 0 處。無論 g 在 w = 0 有哪種孤立奇點，依定義那就是 f 在無窮遠處的奇點類型：可去表示 f 在無窮遠趨於一個有限極限（g 在 0 附近有界）；w = 0 處 m 階極點表示 f 在無窮遠像 z^m 那樣增長；w = 0 處本性奇點表示 f 在無窮遠表現狂野。你從 f 對大 |z| 的、以 1/z 各冪表示的羅朗級數讀出類型，就像在任何有限點附近所做的那樣。
這個觀點補全了全貌，而且確實有用。一個 n 次多項式在無窮遠有 n 階極點（它像 z^n 那樣增長），這正是為什麼多項式無界、而劉維爾定理並不與之矛盾。e^z 在無窮遠有本性奇點（令 w = 1/z 看 e^(1/w) 在 0 處）。一個在整個球面（含無窮遠）上解析的函數必為常數；而一個在整個球面上亞純的函數恰好是有理函數。把無窮遠處的奇點一併計入，也正是讓「所有留數之和（含無窮遠處那個）為零」乾淨得出的原因。
把 f(z) = z^2 + 1/z 在無窮遠分類。令 w = 1/z：g(w) = f(1/w) = 1/w^2 + w。在 w = 0 附近其主要部分為 1/w^2——一個 2 階極點。所以 f 在無窮遠有 2 階極點（它像 z^2 那樣增長）。作為對照，f(z) = sin z 給出 g(w) = sin(1/w)，在 0 處本性，故 sin z 在無窮遠有本性奇點。
無窮遠處的行為 = f(1/w) 在 w = 0 的行為；此處 z^2 + 1/z 在無窮遠有二階極點。
留意記帳：f 在無窮遠有界對應於那裡的可去奇點，但「在無窮遠可去」仍允許非零的有限極限；而正次數多項式在無窮遠是極點，而非本性奇點，儘管它無界。