無窮遠處的留數（residue at infinity）

複平面有一個自然的額外點——無窮——你朝任何方向走得任意遠便達到它（黎曼球面藉由在平面頂端蓋上單一個點而把這說得精確）。一個函數可以在無窮遠處有奇點，正如它在有限點處有奇點，而結果是無窮也帶有它自己的留數，其定義是為了讓整個記帳保持一致。

定義：f 在無窮遠處的留數為 Res(f, infinity) = 負的 (1 / (2 pi i)) 乘以大圓 |z| = R 上 f(z) dz 的積分，圓逆時針走。負號與定向是刻意的：從無窮的視角看，平面上的逆時針迴路其實是繞無窮順時針走，故負號還原了從球面北極所見的自然定向。由代換 w = 1/z（把無窮映到 0）得一條乾淨的計算公式：Res(f, infinity) = 負的 (1 / w^2) f(1/w) 在 w = 0 處的留數。特別地，一個函數可以在無窮遠處完全解析（那裡沒有極點）卻仍有非零的無窮遠留數——例如 1/z，它在無窮遠處解析，但其無窮遠留數為 -1。

何必如此：無窮遠處的留數是讓你把涉及許多有限極點的彆扭計算，換成在無窮處單一計算的工具，也是使所有留數之和為零的那塊缺失拼片。它是求啞鈴型積分的自然辦法，那裡函數在有限切割外是單值的，無窮遠留數捕捉了「外部」的一切。要把握的微妙之處：在無窮遠處正則不等於那裡留數為零——那個出人意料的 1/z 例子是經典的警示。