f(y) 的正負分析
讓整套相線方法得以運轉的，是這一小段算術。對自治方程 dy/dt = f(y)，導數 dy/dt 字面上就等於 f(y)。所以 f(y) 的正負——它是正、是負、還是零——直接告訴你在那個 y 值處，解是在上升、下降，還是靜止不動。不需求解；你只要判斷正負。
做法是一張符號表，與微積分先修課裡的那種一模一樣。先找出 f(y) = 0 之處；這些是平衡點，是分界。它們把 y 軸分成若干區間。在每個區間裡，代入任一測試值以判定 f 在該處的正負。f(y) > 0 處，解遞增（dy/dt > 0），故經過那條帶的解都上升。f(y) < 0 處，解遞減，故下降。正負在區間內不會翻轉，因為 f 只在其零點變號，所以一個測試點就能定下整個區間。把「+」翻成向上箭頭、把「−」翻成向下箭頭，相線便建好了。
這正是定性分析感覺幾乎不費力的原因：用來描繪一個函數遞增遞減的同一套符號表技巧，如今揭示了方程每個解的長期命運。它還顯示出平衡點是如何被趨近的——解在靠近穩定平衡點時會放慢，因為 f、從而速度 dy/dt，在那裡縮向零。上升、下降與趨近的整個故事，都編碼在 f 的單一符號模式裡。
對 dy/dt = (y − 1)(y − 3)，零點在 y = 1 與 y = 3。測 y = 0：f = (−1)(−3) = +3 > 0（向上）。測 y = 2：f = (1)(−1) = −1 < 0（向下）。測 y = 4：f = (3)(1) = +3 > 0（向上）。故解在 1 以下上升、在 1 與 3 之間下降、在 3 以上上升。
f(y) 的正負就是 dy/dt 的正負：+ 代表上升，− 代表下降。
這個捷徑之所以有效，全因方程是自治的，故 dy/dt 等於 f(y)、不顯含 t。對非自治方程，右邊的正負會隨時間改變，固定的符號表便無法道盡全貌。