相線

有時你不必解出方程，就能知道它的解在做什麼——你只需知道它們往哪個方向移動。對一個自治的一階方程，相線是一條單一的數線，一眼便顯示解在何處上升、何處下降，以及最終停在哪些穩態。它是定性理論中最簡單的工具，卻威力驚人。

它適用於自治方程 dy/dt = f(y)，其右邊只依賴 y，不依賴 t。把 y 軸畫成一條鉛直線。首先標出平衡點——使 f(y) = 0 的 y 值，即解停滯不動之處。這些點把線切成若干區間。在每個區間檢查 f(y) 的正負：f(y) > 0 處解遞增，畫一個向上的箭頭；f(y) < 0 處遞減，畫一個向下的箭頭。整個構造就這樣——平衡點加上箭頭。現在只要沿著箭頭朝平衡點趨近或遠離，就能讀出任何起始值的長期歸宿，完全不必找出公式。

相線免費地告訴你每個平衡點的穩定性：若兩側箭頭都指向它，解便向它收斂，它是穩定的（匯點 sink）；若都指離它，它是不穩定的（源點 source）；若一進一出，它是半穩定的。這正是理解終端速度、承載力與分岔背後的引擎。它之所以有效，全因方程是自治的——正是這一點讓行為只依賴 y，因而一條線就能捕捉一切。