自治與非自治方程

有些變化的規則只取決於你「擁有什麼」，而不取決於「現在幾點」；另一些則也取決於時鐘。一個放射性樣本的衰變率純粹由剩下多少決定——午夜或正午毫無差別。相對地，一塊太陽能板的輸出明確地取決於一天中的時刻。前一種方程是自治的，後一種是非自治的，這個區別形塑了它們的解如何表現。

精確地說，一個一階方程是自治的，若自變量不明確地出現在右邊：它具有 y' = f(y) 的形式，變化率僅取決於狀態 y。它是非自治的，若自變量明確地出現，y' = f(t, y)。所以 y' = k y 是自治的（右邊沒有 t），而 y' = k y + sin(t) 是非自治的（受迫項 sin(t) 把時鐘帶了進來）。「自治」意指「自我治理」：系統的定律對所有時間都固定，隨時鐘滴答而不變。

自治性換來真正的簡化。由於規則與時間無關，自治方程的斜率場在每一個垂直帶裡看起來都一樣——把任一個解在時間上平移，你就得到另一個解——所以整個長期故事塌縮到單一條線上，即相線，由平衡點來組織。這就是為什麼穩定性分析棲身於自治方程。非自治方程帶著明確的時間依賴，一般缺乏這種平移對稱，需要更完整的工具；辨認出你面對的是哪一種，就告訴你有哪些定性工具可用。