因變量與自變量

每個微分方程裡都有兩種字母，扮演兩種截然不同的角色，把它們分清楚能避免大量的混淆。一個字母是你可以自由選擇、或自己往前推進的輸入——例如時間。另一個是輸出，是你試圖揭曉其行為的量——例如溫度、族群或位置。知道哪個是哪個，是讀懂任何方程的第一步。

精確地說，自變量是我們「對之求導」的那一個——通常是 x 或 t——我們把它想成沿著一條軸自由變動。因變量是會回應的未知量，寫成自變量的函數，例如 y(x) 或 P(t)；它「依賴」於自變量。在 dy/dt = k y 中，時間 t 是自變量（它只是向前推進），y 是因變量（它是回應規則的那個東西）。常微分方程恰有一個自變量；偏微分方程有兩個或更多。

正確辨認變量會告訴你問題的幾何——你把什麼畫在哪條軸上（自變量在水平軸，因變量在垂直軸）——而這正是區分常微分與偏微分方程的依據。它也釐清了哪些符號「有資格」使方程變成非線性：只有因變量及其導數會，自變量絕不會。初學者常犯的錯誤是把像 t 或 x 這樣的係數當成未知量；它不是——它只是未知量演出的舞台。