線性與非線性方程

在所有微分方程中，有一條巨大的斷層線，把我們能乾淨利落求解的方程，和那些抗拒我們的方程分開：線性與非線性。線性方程是溫馴、行為良好的那一類，效應單純疊加——把起因加倍，效果也加倍。非線性方程則是世界豐富、令人驚訝又困難的行為所棲身之處：湍流、臨界翻轉、混沌。

精確地說，一個微分方程是線性的，若未知函數及其所有導數都只以「一次方」出現、彼此從不相乘、也從不被塞進像 sin、exp 或平方這類函數裡。最一般的形式長這樣：a_n(x) y^(n) + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)：每一個 y 項都只是一個係數（可以依賴 x）乘上 y 的單一導數，然後相加。一旦你看到 y^2、y y'、sin(y)、1/y 或 (y')^2，它就是非線性的。注意係數可以是「自變量」x 的任意函數——這仍然是線性；非線性永遠只跟未知量 y 及其導數有關。

為什麼如此執著於這個區別？因為線性方程服從疊加原理——解可以相加、可以伸縮，組合出新的解——光是這個事實就給了我們一套完整、系統化的理論：我們幾乎能解出每一個線性常係數方程。非線性方程沒有這種普遍方法；多數根本無法以封閉形式求解，我們轉而依靠定性的圖像與數值方法。辨認出你站在這條線的哪一邊，就告訴你能伸手去拿哪一整箱工具。