未知函數

在普通的代數裡，當我們「解 x」時，我們在獵捕一個數。在微分方程中，我們獵捕的東西根本不是一個數——它是一整個函數、一整條曲線。這是本學科要求你做出的最大心智轉變。「未知量」是那條在每一個可能的輸入處、一次給出所有輸出值的規則。

精確地說，未知函數就是被視為「尚待確定」的、自變量之函數的因變量——通常寫成 y(x) 或 y(t)，常簡寫為 y。微分方程是這個函數必須滿足的一組條件；求解就是找出真正符合的公式或曲線 y = f(x)。所以在 y' = k y 中，未知量是函數 y(t)，而答案結果是 y(t) = C e^(kt)——一個函數，其中 C 仍是自由的。在我們求解之前，y 代表一個我們尚不知道的函數，就像 x 曾經代表一個我們尚不知道的數。

牢記這一點，能讓你對「答案」長什麼樣保持誠實。解絕不是單一個點；它是定義在一個區間上的函數，而且通常會有一整族，直到額外資訊把範圍縮小。這也是為什麼我們能用代入來驗證候選解：把提出的函數及其導數代回方程，檢查它是否成立——因為未知量是個函數，所以檢驗的是這個函數是否處處都行得通。