微分方程的解

如果微分方程是一條關於變化率的規則，那麼解就是真正「服從」這條規則的函數。把方程想像成在每一點下達一道指令——「在這裡你的斜率必須是這個」——而解是一條曲線，它忠實地、處處都恰好具有規則所要求的斜率。找出這樣一條曲線，正是整門學科的目的。

精確地說，微分方程在某區間上的解，是一個連同它的導數一起、在該區間每一點都滿足方程的函數——使方程化為一個真正的恆等式。要檢查，就把函數及其導數代入方程，確認對區間內所有 x，兩邊都相等。例如，y = e^(2x) 是 y' = 2y 在整條實數線上的解，因為它的導數 2 e^(2x) 處處等於 2 乘 e^(2x)。解總是附帶一個它被定義、且方程成立的區間——那個區間很重要。

這裡該說三句誠實的提醒。第一，解是一個函數、在一個區間上有效，不只是單一個值。第二，大多數微分方程有許多解——一整族——除非額外的條件選出其中一個。第三，也最令人清醒的是：絕大多數微分方程「沒有」能以初等公式表達的解；教科書裡漂亮的封閉形式答案，只是一小撮特殊的集合。這正是為什麼之後我們發展數值方法（去逼近解）與定性方法（不靠公式描述解）。