一階建模與定性分析
平衡點的穩定性
靜止於碗底的彈珠，與平衡在圓頂頂端的彈珠，嚴格說來都處於靜止——但輕推一下，兩者的表現截然不同。碗中的彈珠滾回去；圓頂上的彈珠滾開去。穩定性研究的正是這個差異：它問一個穩態，一旦受到些微擾動，是回到自身，還是逃離自身。
對自治方程 dy/dt = f(y)，平衡點 y* 是使 f(y*) = 0 的值，所以恰好停在那裡的解永不移動。問題在於：稍微偏離出發的解會怎樣。若鄰近的解隨時間被拉回 y*，該平衡點是穩定的（也稱漸近穩定，或匯點）。若哪怕最微小的位移都會增長、解四散逃離，它便是不穩定的（源點）。有一個快速判別法：看斜率 f'(y*)。若 f'(y*) < 0，平衡點穩定；若 f'(y*) > 0，不穩定；若 f'(y*) = 0，線性判別失效，便退回去看 f 在兩側的正負（相線）。
穩定性是模型最重要的單一定性性質，因為穩定平衡點正是你長期實際看到的狀態——終端速度、承載力、冷卻物體的穩定溫度。不穩定平衡點是真實的，卻脆弱到無形：系統只能在完美無擾動的理論中棲於其上。這個一階概念，是更豐富的系統與非線性動力學穩定性理論的種子。
對 dy/dt = y(1 − y)，用 f'(y) = 1 − 2y 檢查斜率。在 y = 0，f'(0) = 1 > 0，故 y = 0 不穩定；在 y = 1，f'(1) = −1 < 0，故 y = 1 穩定——與相線一致。
f'(y*) < 0 代表穩定（匯點）；f'(y*) > 0 代表不穩定（源點）。
當 f'(y*) = 0 時，斜率判別法失效；此時必須檢視 f 在兩側的正負，因為該平衡點可能是半穩定或某種線性化看不見的退化情形。
又稱
另見