與純量 n 階情形的連繫（connection to the scalar nth-order case）
你已在兩種看似不同的面貌中遇過線性方程：單一高階方程如 y'' + p y' + q y = 0，以及若干方程構成的一階系統 x' = A x。一個自然的憂慮是，你彷彿在學兩套互不相干的理論。並非如此。單一 n 階線性方程恰是喬裝的一階系統，而矩陣機制把單一方程的結果作為特例包含其中。
這個轉譯是機械式的。給定 y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = 0，把未知量命名為 x_1 = y、x_2 = y'、x_3 = y''，直到 x_n = y^(n-1)，即函數及其直到 n - 1 階的導數。則 x_1' = x_2、x_2' = x_3，依此類推，每個新導數不過是下一個變量，而最後一行 x_n' = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - ... - a_(n-1) x_n 編碼了原方程解出最高導數後的式子。把這寫成 x' = A x，便產生一個特殊矩陣 A，稱為伴隨矩陣（companion matrix）：次對角線上是 1，最底行是取負的係數。現在看齒輪如何咬合。這個伴隨矩陣的特徵多項式，與原方程的特徵方程 r^n + a_(n-1) r^(n-1) + ... + a_0 = 0 完全相同，同樣的根、同樣的重數。它的特徵值就是方程的特徵根。
於是每個系統結果都正確地特化。相異特徵值 lambda 給出解 e^(lambda t)，與單一方程的規則吻合。重特徵值使伴隨矩陣虧損，而約當結構製造出你學過的重根情形那些 t e^(lambda t)、t^2 e^(lambda t)、...。複特徵值化成正弦與餘弦。所以伴隨矩陣的矩陣指數恰好重新打包了 n 階理論，反過來，你也總能把系統化約成純量方程，印證兩幅圖景本是一體。e^(At) x0 的第一個分量甚至重現了純量解。
把 y'' + 3 y' + 2 y = 0 轉換：令 x_1 = y、x_2 = y'。則 x' = [0, 1; -2, -3] x，其矩陣是伴隨矩陣。它的特徵多項式是 lambda^2 + 3 lambda + 2，與方程的特徵方程 r^2 + 3 r + 2 = 0 相同，根為 -1 與 -2。系統給出 e^(-t) 與 e^(-2t)，正是你直接得到的 y = c1 e^(-t) + c2 e^(-2t)。
n 階方程化為以伴隨矩陣為係數的一階系統，其特徵多項式正是原來的特徵方程，兩套理論本是一體。
重根方程的伴隨矩陣總是虧損的，故 t e^(lambda t) 項源於特徵向量不足，並非巧合，單一方程與系統兩幅圖景以兩種方式解釋了同一個現象。