純量曲率（scalar curvature）

曲率可以用越來越細的摘要來描述：每個二維平面一個數（截面）、每個方向一個數（里奇），最後是整個點一個數。最後這個、最粗的摘要，就是純量曲率。它把一點處所有曲率濃縮成單一數值，回答最直白的問題：在這點，一個小球比平直空間中同半徑的球大還是小？

精確地說，純量曲率 S（常寫作 R）是里奇張量與度量的完全縮並：S = sum g^jk Ric_jk，等價於所有方向上里奇曲率的平均、再依維數放大。它的幾何意義很具體：在維數為 n 的空間中，半徑為 r 的小測地球體積，是平直空間體積減去一個正比於 S 乘 r^2 的因子——正純量曲率使小球比歐氏的小，負則使它更大。在二維，純量曲率恰是高斯曲率的兩倍，把整個層級牽回高斯。

純量曲率是最弱的曲率不變量——它把幾乎一切都平均掉，所以一個空間可以有常正純量曲率，卻在不同方向看起來很不一樣。然而它分量十足：它是愛因斯坦-希爾伯特作用量的被積函數，其變分產生愛因斯坦方程，而許多深刻定理（正質量、正純量曲率度量的存在）都繫於它。誠實的提醒正是它的粗糙：知道 S 告訴你一點的曲率總預算，卻不告訴你它如何分配到各方向——許多真正不同的幾何共有相同的純量曲率。