黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）
/ REE-mahn /
哪一個量能完整而誠實地告訴你一個空間在某點有多彎——不是從外面看起來多彎，而是對居住者而言真正有多彎？那就是黎曼曲率張量。它用一台機器，捕捉了這個事實：在彎曲空間上，沿一個微小迴圈做平行移動會讓向量帶著旋轉回家；等價地，以不同順序取兩次共變導數會得到不同結果。它為零之處，空間是平的；不為零之處，它恰好量出幾何偏離平坦的程度。
精確地說，黎曼張量 R 吃進三個向量場、吐出第四個，定義為 R(X, Y)Z = nabla_X nabla_Y Z - nabla_Y nabla_X Z - nabla_([X, Y]) Z。把它讀成共變導數不可交換的程度：在平直空間裡順序無所謂、R 為零；在彎曲空間裡，這份不一致恰恰是向量繞由 X、Y 張開的無窮小迴圈一圈所獲得的旋轉。在座標下，它的分量 R^l_ijk 由克氏符號及其一階導數建構。它是真正的張量，所以「R 在某點為零」是與座標無關的事實——這與總能在一點歸零的克氏符號不同。
黎曼張量是這門學問的主宰對象：它是曲率完整的內蘊記錄，其餘一切（截面、里奇與純量曲率）都由它取平均或縮並而得。它眾多的對稱性把獨立分量大幅削減——在二維只需一個數，也就是絕妙定理裡的高斯曲率。誠實的結論是：高斯關於曲面的內蘊曲率，恰恰就是黎曼張量的二維情形；黎曼的成就，在於在每個維度都找到了正確的對象，並一勞永逸地把曲率從對外圍空間的任何需求中解放出來。
在半徑為 a 的圓球上，黎曼張量盡可能簡單：每個截面曲率都等於 1/a^2，是個正的常數。在平直平面上，它在每個座標系裡都恆為零。「球面上 R 不為零」這一件事，正是禁止任何無扭曲平面世界地圖存在的原因——這是曲率非零的直接後果。
R 恰在空間平坦時為零；在球面上它不可能為零，這正是任何地球平面圖都無法忠實的原因。
黎曼張量量度內蘊曲率——居住者所能偵測者——與一個空間如何被彎入更高維無關。捲成圓柱的平直薄片其 R = 0：捲曲不改變內蘊曲率，這是學生常錯過的一點。