列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita connection）
/ LAY-vee chee-VEE-tah /
在彎曲空間上有個真實的問題：你要如何對一個向量場求導？要取導數，你得把一點的向量和鄰近點的向量相比、再除以間距——但這兩個向量住在不同的切空間裡，沒有自動的辦法相比。聯絡（connection）就是那條缺失的規則，它說明如何把一個向量從一個切空間搬到鄰近的切空間，使比較變得有意義。列維-奇維塔聯絡，就是黎曼度量挑選出來的那唯一一個、典範的聯絡。
精確地說，聯絡提供一個共變導數，記作 nabla_X Y，即當你沿向量場 X 的方向移動時，向量場 Y 的變化率，並把切空間的扭轉妥善計入。流形上有許多聯絡，但列維-奇維塔聯絡是滿足兩項自然要求的唯一一個：它與度量相容（平行移動保長度與角度，所以你搬動向量時尺不變）且無撓（對稱，意思是 nabla_X Y - nabla_Y X 等於李括號 [X, Y]，沒有額外內建的旋轉）。黎曼幾何基本定理保證恰有一個聯絡同時滿足這兩條件，而一條明確公式（科斯居爾公式，Koszul formula）僅由度量就把它造出來；在座標下它的分量就是克氏符號。
這個聯絡是整套理論的引擎。測地線是那些自身速度沿其平行的曲線（速度對速度的 nabla 為零）；曲率是二階共變導數不可交換的程度；平行移動、和樂群（holonomy）與廣義相對論的方程，全都透過它書寫。它的存在，讓彎曲空間上的微積分能以典範方式進行、毫無任意選擇——度量的幾何規定了唯一正確的求導方式。
在尋常 x、y 座標下的平直平面上，列維-奇維塔聯絡是平凡的：nabla_X Y 就是逐分量的尋常導數，因為座標軸從不轉向。改用極座標，聯絡就不再平凡了——基底向量 d/dr 與 d/dtheta 隨你移動而旋轉，於是出現額外的修正項（克氏符號），儘管底下的平面依然完全平直。
即使在平直平面上，彎曲座標也使聯絡不平凡——克氏符號可以非零，而並無任何真正的曲率。
與度量相容加上無撓，把聯絡唯一地釘死；放鬆任一條件就會出現別的聯絡。別把非零的克氏符號當成曲率的證據——它們可能純粹來自彎曲的座標選擇。