黎曼度量（Riemannian metric）
/ REE-mahn-ee-an /
裸流形對自己的形狀只有最寬鬆的認識——它不知道一條路有多長，也不知道兩個方向夾多大的角。黎曼度量就是供應這些量測的額外配備。它在每個點上，是給切空間的一把小尺加量角器：一條規則，定出每個切向量的長度、以及任兩個切向量之間的夾角。把這樣一把尺光滑地黏到每個點上，流形就成了一個你真能量距離、面積與角度的地方。
精確地說，黎曼度量 g 為每個點 p 在切空間 T_p M 上指派一個內積：一種把兩個切向量 u、v 相乘得到一個數 g_p(u, v) 的方式，它對稱、對每個位置線性、且正定（v 非零時 g_p(v, v) > 0），全都隨 p 光滑變化。在座標下，它是每個點的一個對稱正定矩陣 g_ij(x)，而微小位移 (dx^1, ..., dx^n) 的長度平方是 ds^2 = sum g_ij dx^i dx^j——這是曲面線元 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2 的高維表親，把舊的第一基本形式內蘊化。曲線的長度由沿它積分 ds 求得，兩點間的距離則是最短連接曲線的長度。
度量是其後幾乎所有幾何的源頭：它決定角度、面積、列維-奇維塔聯絡、測地線與曲率。同一個底層流形承載著無窮多種不同的度量——平的或彎的、拉長或壓扁——它們描述的是真正不同的幾何。一個近親，相對論的勞侖茲度量（Lorentzian metric），捨棄了正定條件，使某些方向的長度平方為負（時間相對於空間）；那唯一一次變號，就是黎曼幾何與時空幾何之間全部的數學差別。
在上半平面（y > 0 的點）上，度量 ds^2 = (dx^2 + dy^2) / y^2 隨著你逼近 x 軸而把距離越拉越大。僅憑這一條規則，平面就成了雙曲幾何的一個模型：歐氏直線不再是最短路徑，而最短路線竟是與 x 軸成直角相交的半圓。
只改度量，同一個平直平面就變成彎曲的雙曲空間——幾何住在 g 裡，不在那些點上。
度量是曲面論第一基本形式的內蘊版本：它編碼一切可量的長度與角度，卻不需要任何外圍空間。距離來自把曲線長度最小化，所以即使座標看似筆直，最短路徑也可能彎曲。