克氏符號（Christoffel symbols）
/ KRIS-tof-el /
當你把向量求導的規則（列維-奇維塔聯絡）寫在實際座標裡時，它在每個點吐出一組數，說明座標方向隨你移動時如何扭轉。這些數就是克氏符號。它們是修正天真導數的帳簿：若你的座標格網彎曲或拉伸，這些符號悄悄補上正確的調整，使導數追蹤的是真正的幾何變化，而非格網造成的假象。
精確地說，在座標 x^1, ..., x^n 下，克氏符號 Gamma^k_ij 記錄基底向量 d/dx^i 沿方向 d/dx^j 如何變化：nabla_(d/dx^i) (d/dx^j) = sum_k Gamma^k_ij d/dx^k。對列維-奇維塔聯絡而言，它們完全由度量透過一條明確公式算出：Gamma^k_ij = (1/2) sum_l g^kl (d_i g_jl + d_j g_il - d_l g_ij)，其中 g^kl 是度量矩陣的逆、d_i 指對 x^i 的偏導。要用它們，就代入測地線方程或共變導數；它們是座標對每個彎曲空間計算的貢獻。
兩項誠實的提醒能讓學生免於踩雷。第一，克氏符號不是張量的分量：在換座標時它們多帶一個非齊次項，這正是為何你能藉由選好座標讓它們在任一單點為零，卻無法處處為零、除非空間真正平直。第二，它們依賴座標系，所以非零的克氏符號本身並不代表曲率——平直平面上的極座標就已經有非零的克氏符號。真正的曲率住在這些符號及其導數的某個特定組合裡，也就是黎曼張量。
在極座標 (r, theta) 下的平直平面上，度量是 ds^2 = dr^2 + r^2 dtheta^2。代入公式得到非零符號 Gamma^r_(theta theta) = -r 與 Gamma^theta_(r theta) = Gamma^theta_(theta r) = 1/r。這些正是讓一條直線在極座標描述下仍保持筆直的修正項——純粹是座標效應，因為平面是平的。
平直平面上的極座標就已產生非零的克氏符號；它們記錄的是座標的扭轉，不是曲率。
克氏符號不是張量分量，且總能在某個選定的單點處歸零（法座標）。所以它們從來不是與座標無關的曲率量度——那角色只屬於由它們建構的黎曼張量。